记 $P_n(t) = P\Bqty{N(s + t) - N(s) = n}$,

1. 当 $n = 0$ 时,

代入导数定义, 得

代入初值 $P_0(0) = 1$, 得 $P_0(t) = \mathrm{e}^{m(s) - m(s + t)}$.

2. 当 $n \ge 1$ 时,

代入导数定义, 得

考虑初值 $P_n(0) = 0$, 于是由数学归纳法得

证毕.